Différence de ventes moyennes estimée pour 1 $ de budget supplémentaire.
Capsule 3 - Comprendre la droite de régression
MQT-2101 - Analyse et modélisation des données
Pourquoi ça compte
Comment traduire une droite en une comparaison utile?
La direction compare deux budgets séparés de 1 000 $. La pente donne la différence de ventes moyennes estimée par le modèle.
Objectifs de la capsule
- Lire le modèle linéaire simple.
- Interpréter la pente et l’ordonnée à l’origine.
- Comprendre le résidu et les moindres carrés.
Le modèle et la moyenne
\[Y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i\]
\[\mathrm{E}(Y_i \mid x_i) = \beta_0 + \beta_1 x_i\]
\(x_i\) : budget. \(Y_i\) : ventes. \(\varepsilon_i\) : écart aléatoire non observé.
La droite estimée
\[\widehat{y}_i = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_1 x_i\]
Pente estimée
Ordonnée à l’origine estimée
Ventes prédites lorsque le budget vaut 0 $.
Une comparaison de 1 000 $
Pente estimée : 13,58 $ de ventes par dollar de budget.
Pour 1 000 $ de budget supplémentaire : environ 13 582 $ de ventes moyennes supplémentaires selon la droite.
Une association estimée dans ces données simulées.
Le budget nul est hors de la plage observée
2 497 $
Budget minimal observé
8 857 $
Budget maximal observé
0 $
Extrapolation
L’ordonnée estimée vaut 29 922 $. Son interprétation à budget nul n’est pas appuyée par ces observations.
Un résidu se calcule sur une observation
\[e_i = y_i - \widehat{y}_i\]
121 915 $
Ventes observées
108 888 $
Ventes prédites
+13 027 $
Résidu, après arrondi
Capitale-Nationale, janvier 2025. Budget : 5 814 $.
Le résidu dans le graphique
Le principe des moindres carrés
\[\sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n}(y_i-\widehat{y}_i)^2\]
La droite ajustée minimise cette somme.
Les carrés évitent que les écarts positifs et négatifs s’annulent. Les grands écarts pèsent davantage.
À retenir
1
Pente et unités
2
Résidu observé moins prédit
3
Somme des carrés minimale
Production autonome 3.3
Interprétez la pente pour 1 000 $ de budget. Expliquez le signe du résidu de janvier en Capitale-Nationale.
Auto-vérification
- Ma comparaison porte sur les ventes moyennes estimées.
- Le résidu est positif lorsque la droite sous-estime.
- Je distingue les paramètres, leurs estimations et les résidus.
