Module 04 - Relations non linéaires et transformations
MQT-2101 - Analyse et modélisation des données
Objectifs du module
- Reconnaître et modéliser une courbure.
- Comparer sur des données mises de côté.
- Interpréter une prédiction et ses limites.
- Justifier le choix dans un rapport reproductible.
Le cas et l’unité d’observation
72
observations mois-succursale
6
succursales fictives
2025
douze mois de suivi
Une ligne décrit un mois dans une succursale. Les données sont simulées; les ventes sont en dollars canadiens.
Garder les derniers mois pour comparer
54
janvier à septembre : apprentissage
18
octobre à décembre : validation
3
formes candidates fixées avant la comparaison
Explorer et ajuster sur l’apprentissage. Comparer ensuite sur la validation.
Lire le nuage avant de choisir
Ce qu’une droite impose
\[\widehat{y}=b_0+b_1x\]
- Une même hausse de x donne une même hausse prédite.
- Une courbe permet une variation qui dépend du point de départ.
- La dispersion autour de la tendance demeure.
Un taux peut dépasser 100 %
\[\text{Taux d’occupation}=\frac{\text{achalandage}}{\text{capacité de référence}}\]
2 400 visites pour une référence de 2 000 : 1,20, soit 120 %. Ce rapport n’est pas une probabilité.
Ralentissement et plateau
- Ralentissement : la hausse devient plus faible.
- Plateau : la courbe se rapproche d’une limite.
- Un ralentissement observé ne démontre pas un plafond.
Une courbe quadratique peut redescendre. Un logarithme croissant n’a pas de plafond.
Logarithmique et logistique
Ventes
réponse quantitative : module 4
Oui / non
réponse binaire : module 10
Log(x)
transformation d’une explicative positive
Le modèle logarithmique étudié ici prédit des dollars. La régression logistique modélise une probabilité.
Trois formes, une même réponse
On note \(x\) l’achalandage en milliers de visites et \(y\) les ventes en dollars.
| Forme | Moyenne modélisée |
|---|---|
| Droite | \(\beta_0+\beta_1x\) |
| Quadratique | \(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2\) |
| Logarithmique | \(\beta_0+\beta_1\ln(x)\), avec \(x>0\) |
Courbe en x, modèle linéaire en paramètres
\[Y=\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2+\varepsilon\]
Le modèle reste linéaire en ses coefficients : lm() convient. Une relation courbée n’exige pas forcément une régression non linéaire en paramètres.
Ajuster la droite et la quadratique
I(x^2) demande le carré numérique. Conservez aussi le terme x.
Interpréter une variation
| Comparaison | Hausse prédite (dollars) |
|---|---|
| 2 000 à 2 100 visites | 3 487 |
| 3 000 à 3 100 visites | 1 763 |
Pour 100 visites supplémentaires, la hausse prédite dépend du point de départ.
Calculer une différence dans la quadratique
\[\widehat y(x+h)-\widehat y(x)=b_1h+b_2(2xh+h^2)\]
- x et x² changent ensemble.
- 100 visites : h = 0,1 millier.
- Le point de départ x intervient.
Transformer l’explicative avec un logarithme
Pour une hausse de 10 % de x : \(\Delta\widehat{y}=b_1\ln(1{,}10)\).
La réponse reste en dollars. Il n’y a pas de transformation inverse de y à effectuer.
Superposer les trois formes
Apprendre, comparer, confirmer
Apprendre
ajuster les coefficients sur janvier à septembre
Comparer
prédire octobre à décembre sans réajuster
Confirmer
prévoir de nouvelles données pour évaluer le choix final
Les mois utilisés pour choisir le modèle deviennent un ensemble de validation; ils ne constituent plus un test final indépendant.
Lire la RMSE
\[\mathrm{RMSE}=\bigl[n^{-1}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\widehat{y}_i)^2\bigr]^{1/2}\]
- Racine de la moyenne des erreurs au carré.
- Même unité que la réponse : dollars ici.
- Les grandes erreurs pèsent davantage.
Comparer les résultats
Les RMSE sont exprimées en dollars.
| Modèle | R² apprentissage | RMSE apprentissage | RMSE validation |
|---|---|---|---|
| Linéaire | 0,783 | 8 707 | 10 155 |
| Quadratique | 0,825 | 7 817 | 7 237 |
| Logarithmique | 0,819 | 7 940 | 8 409 |
Le plus grand R² ne suffit pas
- R² résume l’ajustement sur l’apprentissage.
- Ajouter x² ne peut pas réduire le R² sur les mêmes lignes.
- Le R² ajusté pénalise les paramètres supplémentaires.
- Aucun des deux ne remplace l’erreur de validation.
Examiner les résidus
Un choix provisoire
La quadratique a la plus faible RMSE de validation : 7 237 $, contre 10 155 $ pour la droite.
18 observations seulement, regroupées dans six succursales. Deux achalandages de validation dépassent le maximum d’apprentissage. Le classement peut varier sur une autre période.
Délimiter la plage utile
1 151
minimum d’apprentissage, en visites
3 833
maximum d’apprentissage, en visites
2 500
scénario situé dans cette plage
La validation va de 1 500 à 4 166 visites : deux lignes dépassent 3 833.
Calculer une prédiction
Lire l’intervalle de prédiction
fit: estimation ponctuelle des ventes.lwretupr: bornes pour une nouvelle observation.- Un intervalle de confiance viserait la moyenne.
L’intervalle classique suppose notamment une moyenne bien spécifiée, des erreurs indépendantes, de variance constante et normalement distribuées. Il ne corrige pas une courbe mal choisie.
Des modèles proches peuvent diverger
Cinq éléments dans la conclusion
- Question et variables.
- Forme observée sur l’apprentissage.
- Comparaison chiffrée sur la validation.
- Plage d’utilisation.
- Limite et prochaine vérification.
Un exemple de conclusion
Dans les succursales fictives, la relation ventes-achalandage est croissante et présente une courbure. La quadratique obtient une RMSE de validation d’environ 7 237 $, contre 10 155 $ pour la droite. Elle constitue un choix provisoire pour résumer cette relation. L’utilisation doit rester prudente dans la plage de 1 151 à 3 833 visites. Une nouvelle période et les contraintes de service doivent être examinées avant toute décision de capacité.
Relier résultat et décision
Résultat
erreur de validation plus faible
Hypothèse
contraintes possibles de service
Décision
recueillir des données avant d’investir
Une relation descriptive ne chiffre pas l’effet d’augmenter la capacité.
La trace Quarto attendue
- Graphique des 54 observations d’apprentissage.
- Formules et code des trois modèles.
- RMSE, diagnostics et comparaison argumentée.
- Scénario de prédiction et limite d’extrapolation.
Redémarrez R, puis utilisez Render : tous les résultats doivent se recalculer.
Repères bibliographiques
- James, Witten, Hastie et Tibshirani (2021), ISLR, 2e éd., chapitres 5 et 7.
- R Core Team, documentation de lm() et predict.lm().
- Hyndman et Athanasopoulos (2021), Forecasting: Principles and Practice, section 5.8.
