Capsules - Module 07
Capsule 1 - Moyennes mobiles
Montrer une moyenne mobile arrière de quatre semaines et expliquer l’effet de la fenêtre.
Une moyenne mobile remplace une observation par la moyenne de plusieurs observations voisines. Pour prévoir, la fenêtre doit être arrière : seules les valeurs déjà observées sont utilisées.
Une fenêtre courte réagit rapidement mais conserve beaucoup de variabilité. Une fenêtre longue lisse davantage mais réagit plus lentement aux changements de niveau.
Pour une fenêtre de taille \(k\) :
\[ m_t=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}y_{t-j}. \]
Activité 7.1
Les quatre dernières demandes sont 980, 1 020, 1 080 et 1 120 unités. Calculez la moyenne mobile et expliquez ce qu’elle ignore.
La moyenne est 1 050. Elle donne le même poids aux quatre semaines, ignore les observations plus anciennes et ne représente explicitement ni tendance ni saisonnalité.
Capsule 2 - Lissage exponentiel simple
Construire récursivement le niveau lissé et comparer deux valeurs de alpha.
Le lissage exponentiel simple met à jour un niveau estimé :
\[ \ell_t=\alpha y_t+(1-\alpha)\ell_{t-1}, \qquad 0<\alpha<1. \]
Un alpha élevé donne plus de poids à la dernière observation et réagit rapidement. Un alpha faible produit une série plus stable. Cette méthode convient surtout lorsqu’il n’y a pas de tendance ou de saisonnalité forte non modélisée.
Prolongement accompagné : Holt
Holt ajoute une pente \(b_t\) au niveau \(\ell_t\). Sans amortissement, la prévision à l’horizon \(h\) est \(\widehat y_{t+h\mid t}=\ell_t+h b_t\). Les deux états sont mis à jour à chaque observation.
Avec une tendance amortie, \(0<\phi<1\), la prévision devient :
\[ \widehat y_{t+h\mid t}=\ell_t+(\phi+\phi^2+\cdots+\phi^h)b_t. \]
L’effet de la pente diminue avec l’horizon. forecast::holt(serie, h = horizon, damped = TRUE) estime les paramètres sur l’apprentissage. La méthode ne modélise pas la saisonnalité : elle doit être comparée aux références et ne garantit pas une amélioration. Ce prolongement sert à comprendre les exemples fournis; le calcul des récurrences à la main n’est pas demandé.
Source : Hyndman et Athanasopoulos (2021), section 8.2; documentation de forecast::holt.
Activité 7.2
Pour une demande récente en hausse rapide, comparez qualitativement les effets de \(\alpha=0{,}2\) et \(\alpha=0{,}8\).
Avec 0,8, le niveau lissé se rapproche rapidement de la dernière demande. Avec 0,2, l’historique conserve plus d’influence et l’ajustement est plus lent.
Capsule 3 - Mesurer les erreurs
Calculer une erreur, MAE et RMSE, puis discuter le MAPE près de zéro.
L’erreur est \(e_t=y_t-\widehat y_t\). Une erreur positive signifie que la prévision a sous-estimé la valeur observée.
- MAE : erreur absolue moyenne, dans l’unité de la cible.
- RMSE : racine de l’erreur quadratique moyenne, plus sensible aux grandes erreurs.
- MAPE : erreur absolue en pourcentage, difficile à utiliser lorsque les observations sont nulles ou très faibles.
La meilleure mesure dépend du coût réel. Une rupture de stock peut rendre les sous-prévisions plus coûteuses que les sur-prévisions.
Activité 7.3
Deux méthodes ont la même MAE, mais la seconde produit une erreur extrême. Quelle mesure les distinguera davantage?
La RMSE pénalise davantage les grandes erreurs parce qu’elles sont mises au carré.
Capsule 4 - Comparer équitablement
Construire une période de validation commune et relier les mesures au choix de méthode.
Toutes les méthodes doivent être évaluées sur les mêmes observations futures. Une comparaison juste conserve la même origine, le même horizon, la même période de validation et les mêmes mesures.
Les paramètres sont estimés sur l’apprentissage. Les candidats sont annoncés avant la comparaison; le bloc de validation sert au choix de méthode. Un éventuel test final reste distinct et n’est pas utilisé pour retoucher ce choix.
Le classement numérique ne suffit pas. Il faut aussi examiner : stabilité, interprétabilité, effort de maintenance, délai de calcul et conséquences des erreurs.
Activité 7.4
Une méthode réduit la MAE de 1 %, mais exige des variables externes coûteuses et une maintenance hebdomadaire. Formulez une décision prudente.
L’amélioration doit être comparée au coût opérationnel et à sa stabilité. Une méthode plus simple peut être préférable si l’écart est faible ou incertain.